2015考研數(shù)學(xué)多元積分和無窮級(jí)數(shù)真題考點(diǎn)總結(jié)
[摘要] 對于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，除了按照數(shù)學(xué)考試大綱的要求對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)外，要想取得高分，還應(yīng)該對往年的考研數(shù)學(xué)試題的規(guī)律、風(fēng)格和特點(diǎn)有較全面的認(rèn)識(shí)，這樣才能做到心中有數(shù)、知己知彼，一考成功.
在每年的全國碩士研究生入學(xué)考試中，數(shù)學(xué)總分是150分，占了較大比重，數(shù)學(xué)能否復(fù)習(xí)好、考好，對考研能否成功有較大影響。對于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，除了按照數(shù)學(xué)考試大綱的要求對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)外，要想取得高分，還應(yīng)該對往年的考研數(shù)學(xué)試題的規(guī)律、風(fēng)格和特點(diǎn)有較全面的認(rèn)識(shí)，這樣才能做到心中有數(shù)、知己知彼，一考成功。為了幫助廣大考生復(fù)習(xí)好、考好數(shù)學(xué)，下面對考研數(shù)學(xué)（一）中的多元函數(shù)積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)的真題考點(diǎn)進(jìn)行分析總結(jié)。內(nèi)容包括：重積分及其應(yīng)用、曲線積分和曲面積分、無窮級(jí)數(shù)，這幾部分內(nèi)容的考點(diǎn)分布規(guī)律如下表所示。
近15年考研數(shù)學(xué)（一）中的多元函數(shù)積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)的真題考點(diǎn)分析：
| 內(nèi)容 年份 | 重積分及其應(yīng)用 | 曲線與曲面積分 | 無窮級(jí)數(shù) |
| 2000 | 八(球體重心) | 二(2)(曲面積分對稱性)，五(格林)，六(高斯，微分方程) | 二(3)(斂散判斷)，七(收斂區(qū)間) |
| 2001 | 一(3)(二次積分)，八(雪堆融化，體積，側(cè)面積) | 六(斯托克斯) | 五(函數(shù)展開，數(shù)項(xiàng)求和) |
| 2002 | 五(二重積分，分區(qū)) | 六(格林) | 二(2)(斂散判斷)，七(Ⅰ)(逐項(xiàng)求導(dǎo)，微分方程) |
| 2003 | 八(球面坐標(biāo)，極坐標(biāo)，變限求導(dǎo)) | 五(格林，對稱性) | 一(3)(傅里葉系數(shù))，四(函數(shù)展開，數(shù)項(xiàng)求和) |
| 2004 | 10(交換次序，變限求導(dǎo)) | 3(參數(shù)法，格林)，17(高斯) | 9(斂散判斷，反例法)，18(比較審斂，零點(diǎn)定理) |
| 2005 | 15(極坐標(biāo)，分區(qū)，取整函數(shù)) | 4(高斯)，19(格林，路徑無關(guān)，微分方程) | 16(收斂區(qū)間，求和) |
| 2006 | 8(極化直)，15(極坐標(biāo)，對稱性) | 3(高斯)，19(格林，偏導(dǎo)) | 9(斂散判斷)，17(函數(shù)展開) |
| 2007 | 6(曲線積分正負(fù))，14(曲面積分對稱性)，18(高斯) | 20(逐項(xiàng)求導(dǎo)，微分方程，求和) | |
| 2008 | 12(高斯)，16(參數(shù)法，格林) | 11(收斂域)，19(傅里葉級(jí)數(shù)) | |
| 2009 | 2(大小比較，對稱性)，12(球面坐標(biāo)，對稱性) | 11(曲線積分)，19(高斯) | 4(斂散判斷，比較審斂，反例法)，16(數(shù)項(xiàng)求和，面積) |
| 2010 | 4(定義求和)，12(立體形心) | 11(參數(shù)法，格林)，19(曲面積分，切平面，投影) | 18(收斂域，和函數(shù)) |
| 2011 | 19(交換次序，分部積分，抽象函數(shù)) | 12(參數(shù)法，斯托克斯) | 2(收斂域) |
| 2012 | 12(曲面積分)，19(格林) | 17((收斂域，和函數(shù))) | |
| 2013 | 19(旋轉(zhuǎn)體方程，立體形心) | 4(格林，參數(shù)法) | 3(傅里葉，延拓，周期性)，16(逐項(xiàng)求導(dǎo)，微分方程) |
| 2014 | 3(交換次序，直化極) | 12(參數(shù)法，斯托克斯)，18(高斯，對稱性，投影法) | 19(證數(shù)列收斂、級(jí)數(shù)收斂) |
上面表格中數(shù)字表示相應(yīng)年份的試卷中考題的題號(hào)，數(shù)字后面括號(hào)里的文字說明表示該考題涉及的主要考點(diǎn)或主要解題方法。
注：1）“格林”、“高斯”、“斯托克斯”分別指格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，2）“極化直”和“直化極”指重積分計(jì)算中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，3）“交換次序”指交換累次積分的次序，5）“變限求導(dǎo)”指對變限積分函數(shù)求導(dǎo)，6）“數(shù)項(xiàng)求和”指常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和，7）“定義求和”指利用重積分定義求若干項(xiàng)和的極限，8）“抽象函數(shù)”指不是用具體數(shù)學(xué)函數(shù)表示的函數(shù)，9）“延拓”指對函數(shù)進(jìn)行奇延拓或偶延拓、周期延拓，以便利用傅里葉級(jí)數(shù)理論，10）“對稱性”指積分區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，二者結(jié)合在一起，對積分進(jìn)行化簡計(jì)算。
從近15年考題特點(diǎn)來看，關(guān)于重積分及其應(yīng)用方面的內(nèi)容，最基本最常考的內(nèi)容是二重積分的計(jì)算，考生應(yīng)該熟練掌握其各種常用的計(jì)算方法和技巧，包括利用對稱性計(jì)算、必要時(shí)進(jìn)行分區(qū)域計(jì)算、交換積分次序計(jì)算、利用極坐標(biāo)計(jì)算；其次是三重積分的計(jì)算，常用方法包括：直角坐標(biāo)計(jì)算、球面坐標(biāo)計(jì)算、柱坐標(biāo)計(jì)算；關(guān)于重積分的應(yīng)用，重點(diǎn)應(yīng)該掌握面積、體積和質(zhì)心（形心）的計(jì)算；除此之外，有時(shí)會(huì)考重積分大小的比較、利用重積分的定義求數(shù)項(xiàng)和的極限；另外，這部分內(nèi)容有時(shí)會(huì)用到變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，大家要能熟練運(yùn)用。
關(guān)于曲線和曲面積分，這是數(shù)學(xué)一的一個(gè)考試重點(diǎn)，每年必考，并且時(shí)常考一道大題（10分以上）和一道小題（4分）。這方面最常考的題型有3類：運(yùn)用參數(shù)法計(jì)算曲線積分、運(yùn)用格林公式計(jì)算曲線積分和運(yùn)用高斯公式計(jì)算曲面積分。除此之外，有時(shí)也會(huì)考查運(yùn)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。對于第一類曲線和曲面積分的基本計(jì)算大家也應(yīng)該掌握，另外，在曲線和曲面積分的計(jì)算中，要會(huì)運(yùn)用對稱性簡化計(jì)算，提高解題效率。
關(guān)于無窮級(jí)數(shù)方面，同曲線曲面積分類似，它也是數(shù)學(xué)一的一個(gè)重要考點(diǎn)，每年必考，有時(shí)也會(huì)考兩道題，一道大題（10分以上）和一道小題（4分）。常考的題型主要有兩類：一類是無窮級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的判斷，另一類是無窮級(jí)數(shù)的求和，求和過程中常用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分的方法，對于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和，常借助冪級(jí)數(shù)的求和方法計(jì)算。除了這兩類題型外，有時(shí)也會(huì)考查傅里葉級(jí)數(shù)，大家對它的基本概念和方法也應(yīng)該掌握。另外，關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的求和問題，也時(shí)常結(jié)合微分方程進(jìn)行考查，題目有一定的綜合性，大家對此要有所準(zhǔn)備并會(huì)計(jì)算。
