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2015考研數學:巧用柯西中值定理進行證明

來源:網絡瀏覽次數:1999發表于2014-08-18

[摘要] 在考研數學中,高等數學的中值定理是一個重要考點,也是一個難點,對它的理解和掌握程度會直接影響到考研數學成績的高低,因此考生應該給予足夠的重視。中值定理包括微分中值定理和積分中值定理。

 在考研數學中,高等數學的中值定理是一個重要考點,也是一個難點,對它的理解和掌握程度會直接影響到考研數學成績的高低,因此考生應該給予足夠的重視。中值定理包括微分中值定理和積分中值定理,微分中值定理包括4個,分別是:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。為了幫助各位考生更好地理解和運用中值定理,小編將分別對它們進行分析和探討,下面我們來分析一下柯西中值定理及其運用,供大家參考。

  柯西(Cauchy)中值定理及其意義:

  柯西定理:

1.jpg

  意義:柯西定理表示,兩個函數的變化量之比,與它們在某一點的變化率之比具有相同的值;

  比較:與羅爾定理和拉格朗日中值定理相比,柯西定理沒有明確的幾何意義,而羅爾定理和拉格朗日定理都具有明確的幾何的意義。

2.jpg

  因此,可以說拉格朗日定理是柯西定理的一個特例,而柯西定理則是拉格朗日定理的一種推廣。

  柯西中值定理的運用:

  1、在等式或不等式的證明中,對涉及到兩個函數的變化量與變化率的問題,可以考慮運用柯西中值定理;

  2、如果關系式中只含一個函數01.jpg的變化量,但關于端點02.jpg的表達式可以可以表示成另一個函數的變化量的形式,可以先對原式進行恒等變形,然后運用柯西中值定理進行證明;

  3、對比較復雜的證明問題,可能需要結合其它知識進行綜合證明,比如結合其它中值定理和函數的單調性等;

  典型例題:

3.jpg

4.jpg

5.jpg

  采用上面的方法,同樣可以證明以下兩題:

6.jpg

  上面就是考研數學中利用柯西中值定理進行證明的方法介紹,供考生們參考借鑒。在以后的時間里,還會陸續向考生們介紹如何利用中值定理進行證明的其它方法,希望各位考生留意查看。最后預祝各位學子在2015考研中取得佳績。

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